​方差公式的变形推导（概率学习笔记（十一）：方差）

方差公式的变形推导（概率学习笔记（十一）：方差）

一个场景

两个投资方案，对于投资5万元；方案一，收益很稳定，100%净赚5万元；方案二，收益不稳定，50%机会赚20万元，另外50%可能是赔10万元。你选择哪个？

抛开心理损失厌恶。盈利的数学期望都是5万元，那要怎么选择了？其实你发现你也不知道怎么选。数学期望是长期价值，方案一稳赚不赔，可以长期执行，方案二波动太大，很容易赔钱，没办法长期执行。

理解方差

比如甲乙两名射击选手，根据历史成绩他们的数学期望都是9.5，那么应该派谁了？于是就必须引出一个概念，就是方差。就是成绩稳定性。

甲乙两人在一次比赛中 的成绩

1.看出甲是发挥性选手，成绩波动大；但是乙了，发挥比较稳定。

2.用每一次射击减去平均成绩表示每次波动

3.

4.累加整体波动；但是有负数，于是波动平方。

5.

在这里仅仅是将方差作为一个指标给教练组，平均成绩是提前计算出来的，成绩和随机无关了。方差只是描述成绩稳定性。

随机结果围绕数学期望的波动范围

方差描述的就是，随着结果围绕数学期望的波动范围。数学期望描述长期价值，但是无法反映波动性，但是方差可以。方差就是通过一个数值定量了这种波动性，弥补不了数学期望描述事件的不足。

方差 = 结果的值与数学期望之差的平方的均值。就是个误差之平方（非绝对值，使得它肯定为正数），相加之后再除以总数，透过这样的方式来算出来各个数据分布，零散（相对中心点）的程度。

方案一 方差D = 100% X (50000-50000)^2 =0

方案二 方差 D =50% X(200000-50000)^2+50%X(50000-100000)^2 =2.25 X 10^10

方差是概率论和统计学的重要概念，和它对应的有个概念叫“标准差”。标准差就是方差的平方根，也能描述这种波动性。

方差的本质是对风险的度量

方差越大，说明这件事波动性越大，而风险，本质上指的就是这种波动性。方差的本质，就是对风险的度量。一个随机事件的方差越大，可能的结果离期望值越远，就说明它的风险越大。

股票和国债或者货币基金对比，股票起伏不定，就是方差太大，风险太高了。

“不要把鸡蛋放在一个篮子里面”这句话，就是基于方差的考量。

比如说：回家探亲这件事，一年回去一次三天，还是一年回去15次，一次两天好了。明显是后者要好。很多人喜欢公务员，事业单位，本质上是这种工作方差更小，波动性更小，也是就会我们说的稳定。

如何对抗和利用方差

方差本身是中性的。我们可以采用不同的策略来对抗或者利用方差。

道理很简单，本钱越多，你承受风险的能力就越强。你就可以多多试错，因为你试错了，你得到的收益很大，可以长期做。有足够的本钱，也就有了把游戏继续做下去，去博得数学期望的可能

生活中其他问题，和增加本钱类似，只要增加数据选择，就能做到对抗方差，对抗波动性。通过预测全市，全省的对比，而不是做一个班级预测，让自己预测更加准确。

彩票就是扩大方差，增加波动性来让大家都买的。

写在后面的话

我感觉这一讲是必须要用数学的，这样讲完全讲不清楚。

维基百科解释：方差，应用数学的专用名词，在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量里其期望值的距离。