​世界最难的10道数学题 一千年没人解开的数学题

世界最难的10道数学题 一千年没人解开的数学题

尽管我们最近在数学界取得了长足的进步——就像一台超级计算机终于解决了困扰数学家65年的三个立方体之和问题——我们永远在计算，以追求更深入的数字知识。

几个世纪以来，一些数学问题一直在挑战我们，虽然像这些困难的数学问题这样的大脑破坏者似乎是不可能的，但最终一定会有人解决它们。

嗯，嗯。

现在，你可以破解男人、女人和机器已知的最难的数学问题。

1

科拉茨猜想

2019 年 9 月，这个 82 年历史的问题取得了进展的消息传出，这要归功于多产的数学家 Terence Tao。

虽然陶的突破故事很有希望，但问题还没有完全解决。

关于科拉茨猜想的复习：这完全是关于函数f（n），如上所示，它取偶数并将它们切成两半，而奇数增加三倍，然后加到1。

取任何自然数，应用 f，然后一次又一次地应用 f。

你最终会落在1上，对于我们检查过的每一个数字。

猜想是，这适用于所有自然数（从 1 到无穷大的正整数）。

陶晟最近的工作以某种微妙的方式接近解决了科拉茨猜想。

但他很可能无法调整自己的方法，以产生问题的完整解决方案，正如陶随后解释的那样。

所以，我们可能会再研究几十年。

猜想存在于被称为动力系统的数学学科中，或者研究以半可预测的方式随时间变化的情况。

这看起来像一个简单、无害的问题，但这就是它的特别之处。

为什么这样一个基本问题如此难以回答？它是我们理解的基准;一旦我们解决了它，那么我们就可以继续处理更复杂的问题。

对动力系统的研究可能变得比今天任何人想象的都要强大。

但我们需要解决科拉茨猜想，才能使这个主题蓬勃发展。

2

哥德巴赫猜想

数学中最大的未解之谜之一也很容易写。

哥德巴赫猜想是:每一个偶数 大于2都是两个素数的和。

你可以心算一下小数:18是13+5,42是23+19。

计算机已经对这个猜想进行了检验，以确定其数值是否达到某种量级。

但是我们需要证明所有自然数。

哥德巴赫猜想来源于1742年德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫和瑞士传奇数学家莱昂哈德·欧拉的书信，欧拉被认为是数学历史上最伟大的数学家之一。

正如欧拉所说:我把它看作一个完全确定的定理，尽管我无法证明它。

欧拉可能已经感觉到是什么让这个问题在违反直觉上难以解决。

当你看更大的数字时，它们有更多的方式写成素数的总和，而不是更少。

就像 3+5 是将 8 分解为两个素数的唯一方法，但 42 可以分解为 5+37、11+31、13+29 和 19+23。

因此，感觉哥德巴赫猜想对于非常大的数字来说是一种轻描淡写的说法。

尽管如此，直到今天，数学家们仍然无法证明所有数字的猜想。

它是所有数学中最古老的开放性问题之一。

3

孪生素数猜想

与哥德巴赫的猜想一起，孪生素数猜想是数论中最著名的——或对自然数及其性质的研究，经常涉及素数。

由于您从小学就知道这些数字，因此陈述猜想很容易。

当两个素数相差 2 时，它们称为孪生素数。

所以 11 和 13 是孪生素数，599 和 601 也是如此。

现在，这是第1天数论的事实，有无限多个素数。

那么，有无限多个孪生素数吗？双素数猜想说是的。

让我们再深入一点。

一对孪生素数中的第一个总是比6的倍数小1，只有一个例外。

所以第二个孪生素数总是比6的倍数大1。

你可以理解为什么，如果你准备好学习一些令人兴奋的数论。

2之后的质数都是奇数。

偶数总是比6的倍数大0,2或4，而奇数总是比6的倍数大1,3或5。

好吧，这三种奇数可能中的一种会引起一个问题。

如果一个数比6的倍数大3，那么它有一个因子3。

因子是3意味着一个数字不是素数 除了3本身。

这就是为什么奇数不能每三个都是质数。

读了那一段后，你的头脑如何?现在想象一下，在过去的170年里，每个试图解决这个问题的人都有多头疼。

好消息是，我们在过去十年中取得了一些有希望的进展。

数学家们已经设法解决了越来越接近孪生素数猜想的版本。

这就是他们的想法:难以证明存在无穷多个差为2的素数?如何证明有无穷多个差为70,000,000的质数?2013年，新罕布什尔大学 University of New Hampshire的张益堂 Yitang Zhang巧妙地证明了这一点。

在过去的六年里，数学家们一直在改进张的证明中的这个数字，从数百万减少到数百。

把它一直降到2将是双素数猜想的解决方案。

考虑到一些微妙的技术假设，我们最接近的是6。

时间会证明从6到2的最后一步是否即将到来，或者最后一部分是否会挑战数学家几十年。

4

黎曼猜想

今天的数学家可能会同意黎曼猜想是所有数学中最重要的开放问题。

这是七个千禧年奖问题之一，其解决方案将获得100万美元的奖励。

它对数学的各个分支都有深入的影响，但它也很简单，我们可以在这里解释基本思想。

有一个函数，称为黎曼 zeta 函数，写在上图中。

对于每个 s，这个函数给出一个无限的总和，即使是最简单的 s 值也需要一些基本的微积分来接近。

例如，如果 s=2，则 ζ（s） 是众所周知的序列1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...，奇怪的是，它加起来正好是 π²/6。

当 s 是一个复数（看起来像 a+bi，使用虚数 i 时），找到ζ（s） 会变得棘手。

事实上，它是如此棘手，以至于它已经成为终极数学问题。

具体来说，黎曼猜想是关于当ζ（s）=0;官方的说法是，黎曼 zeta 函数的每个非平凡零都有实数部分 1/2。

在复数平面上，这意味着函数沿着特殊的垂直线具有一定的行为。

假设行为沿着这条线无限持续。

假设和 zeta 函数来自德国数学家伯恩哈德·黎曼，他在 1859 年描述了它们。

黎曼在研究素数及其分布时开发了它们。

自那以后的160年里，我们对素数的理解蓬勃发展，黎曼永远不会想象超级计算机的力量。

但缺乏黎曼猜想的解是一个重大挫折。

如果黎曼猜想在明天得到解决，它将开启雪崩式的进一步进展。

这将是整个数论和分析学科的巨大新闻。

在此之前，黎曼猜想仍然是数学研究河流中最大的水坝之一。

5

伯奇和斯温顿-戴尔猜想

伯奇和斯温顿-戴尔猜想是六个未解决的千禧年奖问题中的另一个，也是我们唯一可以用简单的英语远程描述的另一个问题。

这个猜想涉及被称为椭圆曲线的数学主题。

当我们最近写到已经解决的最困难的数学问题时，我们提到了20世纪数学中最伟大的成就之一：费马大定理的解。

安德鲁·怀尔斯爵士使用椭圆曲线解决了这个问题。

所以，你可以称之为一个非常强大的数学新分支。

简而言之，椭圆曲线是一种特殊的函数。

它们采用看起来没有威胁的形式 y²=x³+ax+b。

事实证明，像这样的函数具有某些属性，可以洞察代数和数论等数学主题。

英国数学家布莱恩·伯奇（Bryan Birch）和彼得·斯温顿-戴尔（Peter Swinnerton-Dyer）在1960年代提出了他们的猜想。

它的确切陈述非常技术性，并且多年来一直在发展。

这种演变的主要管家之一正是怀尔斯。

要查看其当前状态和复杂性，请查看Wells在2006年的著名更新。

6

接吻号码问题

数学中的一大类问题称为球体包装问题。

它们的范围从纯数学到实际应用，通常将数学术语放在给定空间中堆叠许多球体的想法中，例如杂货店的水果。

这项研究中的一些问题有完整的解决方案，而一些简单的问题让我们感到困惑，比如接吻数字问题。

当一堆球体挤在某个区域时，每个球体都有一个接吻数，这是它所接触的其他球体的数量;如果你触摸6个相邻的球体，那么你的接吻数字是6。

没什么棘手的。

一堆球体将有一个平均接吻次数，这有助于在数学上描述情况。

但是关于接吻次数的一个基本问题仍然没有答案。

首先，关于尺寸的说明。

维度在数学中具有特定的含义：它们是独立的坐标轴。

x 轴和 y 轴显示坐标平面的两个维度。

当科幻剧中的一个角色说他们要去一个不同的维度时，这在数学上没有意义。

你不能转到 x 轴。

一维事物是一条线，二维事物是平面。

对于这些低数字，数学家已经证明了这么多维球体的最大可能接吻数。

当你在一维线上时，它是 1 - 一个球体在你的左边，另一个在你的右边。

有证据表明 2 维有一个确切的数字，尽管这一直持续到 2 年代。

超过3维，接吻问题大多未解决。

数学家们已经慢慢地将可能性缩小到相当窄的范围，最多24个维度，其中一些是完全已知的，正如你在这个图表上看到的。

对于较大的数字或一般形式，问题非常普遍。

完整解决方案存在几个障碍，包括计算限制。

因此，预计未来几年在这个问题上会取得渐进式进展。

7

解结问题

最简单的解结问题版本已经解决，所以这个故事已经取得了一些成功。

解决该问题的完整版本将是一个更大的胜利。

你可能没有听说过数学科目结理论。

它几乎没有在高中教授，也很少有大学教授。

这个想法是尝试将正式的数学思想（如证明）应用于结，例如......好吧，你用什么系鞋带。

例如，您可能知道如何打方形结和外平行结。

它们具有相同的步骤，只是从方形结到外平行结的扭转颠倒了。

但是你能证明这些结是不同的吗？好吧，结理论家可以。

结理论家的圣杯问题是一种算法，用于识别一些纠结的混乱是否真正打结，或者是否可以解开。

很酷的消息是，这已经完成！在过去的20年里，已经编写了几种计算机算法，其中一些甚至使该过程动画化。

但解结问题仍然是计算性的。

从技术上讲，已知解结问题在NP中，而我们不知道它是否在P中。

这大致意味着我们知道我们的算法能够解开任何复杂的结，但随着它们变得越来越复杂，它开始需要很长时间。

目前。

如果有人想出一种算法，可以在所谓的多项式时间内解开任何结，那将完全解决解结问题。

另一方面，有人可以证明这是不可能的，而且解结问题的计算强度不可避免地是深刻的。

最终，我们会找到答案。

8

大基数问题

如果您从未听说过大基数问题，请准备好学习。

在19世纪后期，一位名叫乔治·康托尔（Georg Cantor）的德国数学家发现无穷大有不同的大小。

一些无穷集合确实在深层次的数学方法上比其他集合具有更多的元素，康托尔证明了这一点。

有第一个无限大小，最小的无穷大，表示为 א₀。

这是一个希伯来字母aleph;它读作Aleph-Zero。

它是自然数集合的大小，所以写成 |N|=א₀。

接下来，一些常见集大于大小 א₀。

康托尔证明的主要例子是实数的集合更大，写成|R|>א₀。

但现实并没有那么大;我们才刚刚开始无限大小。

对于真正大的东西，数学家不断发现越来越大的尺寸，或者我们所说的大基数。

这是一个纯数学的过程，是这样的：有人说，我想到了大基数的定义，我可以证明这个大基数比所有已知的大基数都大。

然后，如果他们的证据是好的，那就是新的最大的已知大基数。

直到其他人想出一个更大的。

在整个20世纪，已知大基数的前沿被稳步推进。

现在甚至还有一个美丽的维基，里面有已知的大基数问题，以纪念康托尔而命名。

那么，这会结束吗？答案大致是肯定的，尽管它变得非常复杂。

从某种意义上说，大基数层次结构的顶端就在眼前。

一些定理已经被证明，这些定理对大基数的可能性施加了某种上限。

但许多悬而未决的问题仍然存在，新枢机主教最近在2019年已经确定。

我们很有可能在未来几十年内发现更多。

希望我们最终能有一个所有大基数的完整名单。

9

π+e有什么交易？

鉴于我们对数学中两个最著名的常数π和e的了解，当它们加在一起时，我们是多么迷茫，这有点令人惊讶。

这个谜团都是关于代数实数的。

定义：如果实数是具有整数系数的某个多项式的根，则它是代数的。

例如，x²-6 是具有整数系数的多项式，因为 1 和 -6 是整数。

x²-6=0 的根是 x=√6 和 x=-√6，因此这意味着 √6 和 -√6 是代数数。

所有有理数和有理数的根都是代数的。

所以可能感觉大多数实数是代数的。

事实证明，事实恰恰相反。

代数的反义词是超越的，事实证明，几乎所有的实数都是超越的——对于几乎所有的某些数学含义。

那么谁是代数的，谁是超验的呢？

实数π可以追溯到古代数学，而数字e自17世纪以来一直存在。

您可能都听说过，并且您会认为我们知道要问到的每个基本问题的答案，对吗？

好吧，我们确实知道π和e都是超验的。

但不知何故，不知道π+e是代数的还是先验的。

同样，我们不知道πe，π / e以及它们的其他简单组合。

因此，关于我们几千年来所知道的数字，有一些令人难以置信的基本问题仍然是神秘的。

10

γ理性吗？

这是另一个很容易写但很难解决的问题。

你需要记住的是有理数的定义。

有理数可以写成 p/q 的形式，其中 p 和 q 是整数。

因此，42 和 -11/3 是合理的，而 π 和 √2 不是。

这是一个非常基本的属性，所以你会认为我们可以很容易地判断一个数字什么时候是有理的，对吧？

满足欧拉-马斯切罗尼常数γ，这是一个小写的希腊伽马。

这是一个实数，大约 0.5772，具有封闭形式，不是很丑;它看起来像上图。

为这些符号添加文字的时尚方式是伽马是谐波级数和自然对数差异的极限。

所以，它是两个很好理解的数学对象的组合。

它还有其他整洁的封闭形式，并出现在数百个公式中。

但不知何故，我们甚至不知道γ是否合理。

我们已经计算出五万亿位数，但没有人能证明它是否合理。

流行的预测是γ是非理性的。

除了我们之前的示例 π+e，我们还有一个关于已知数字的简单属性的问题，我们甚至无法回答它。